Question

14．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{3}{2}（{{a_n}-1}）$．
（1）求证数列{a_n}是等比数列并求通项公式a_n；
（2）设b_n=2n-1，c_n=a_n•b_n，T_n为{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=2n-1，c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}（{{a_n}-1}）$，∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}$（a₁-1），解得a₁=3．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}（{{a_n}-1}）$-$\frac{3}{2}（{a}_{n-1}-1）$，
∴a_n+1=3a_n．
故数列{a_n}是公比为3的等比数列．
∴${a_n}={3^n}$．
（2）b_n=2n-1，c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
∴3T_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3^nz+（2n-1）•3ⁿ⁺¹．
∴-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=$2×\frac{3×（{3}^{n}-1）}{3-1}$-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹．
∴T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．