Question

如果sinα•cosα＞0，且sinα•tanα＞0，化简：cos

α

2

•

1-sin a 2 1+sin a 2

+cos

α

2

•

1+sin a 2 1-sin a 2

．

Answer 1

分析：根据题设条件判断出cosα＞0，sinα＞0，进而确定α的范围，进而分别看当

α

2

在第一和第三象限时利用同角三角函数基本关系对原式进行化简整理．

解答：解：由sinα•tanα＞0，得

sin2α

cosα

＞0，cosα＞0．
又sinα•cosα＞0，∴sinα＞0，
∴2kπ＜α＜2kπ+

π

2

（k∈Z），
即kπ＜

α

2

＜kπ+

π

4

（k∈Z）．
当k为偶数时，

α

2

位于第一象限；
当k为奇数时，

α

2

位于第三象限．
∴原式=cos

α

2

•

(1-sin a 2 ) cos2 a 2

+cos

α

2

•

(1+sin a 2 )2 cos2 a 2

=cos

α

2

•

1-sin a 2

|cos a 2 |

+cos

α

2

•

1+sin a 2

|cos a 2 |

=

2cos a 2

|cos a 2 |

=

2( a 2 在第一象限时) -2( a 2 在第三象限时)

．

点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．注意讨论角在不同象限时的不同情况．