Question

10．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）写出曲线C的普通方程，直线l的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|²+|PB|²+|PO|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}cosθ}\\{y-1=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，平方作和即可得到圆的普通方程；由ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$展开两角差的余弦，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ求得直线l的直角坐标方程；
（2）直线方程和圆的方程解得A（2，0），B（0，2），设P（$1+\sqrt{2}cosα，1+\sqrt{2}sinα$），代入|PA|²+|PB|²+|PO|²，得到|PA|²+|PB|²+|PO|² =$12+4sin（α+\frac{π}{4}）$，则|PA|²+|PB|²+|PO|²的取值范围可求．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}cosθ}\\{y-1=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，
平方作和得：（x-1）²+（y-1）²=2；
由ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，得$ρcosθcos\frac{π}{4}+ρsinθsin\frac{π}{4}=\sqrt{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=\sqrt{2}$，x+y-2=0；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=2}\end{array}\right.$，解得A（2，0），B（0，2），
又O（0，0），设P（$1+\sqrt{2}cosα，1+\sqrt{2}sinα$），
则|PA|²+|PB|²+|PO|²
=$（1+\sqrt{2}cosα）^{2}+（1+\sqrt{2}sinα）^{2}$+$（\sqrt{2}cosα-1）^{2}+（1+\sqrt{2}sinα）^{2}$+$（1+\sqrt{2}cosα）^{2}+（\sqrt{2}sinα-1）^{2}$
=$12+2\sqrt{2}（sinα+cosα）$=$12+4sin（α+\frac{π}{4}）$．
∴|PA|²+|PB|²+|PO|²的最小值为8，最大值为16．
即|PA|²+|PB|²+|PO|²的取值范围是[8，16]．

点评 本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，训练了参数方程在求解最值中的运用，是中档题．