Question

1．如图，直线MN过△ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{b}$（其中m＞0，n＞0），则mn的最小值是（　　）

• A． $\frac{2}{9}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由G为三角形的重心得到$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），再结合$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{b}$（其中m＞0，n＞0），根据M，G，N三点共线，易得到m，n的关系式，即可得到结论

解答 解：根据题意G为三角形的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
由于$\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）-m\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{3}$-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AG}$=n$\overrightarrow{b}$$-\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+（n-\frac{1}{3}）\overrightarrow{b}$，
因为G，M，N三点共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得$\overrightarrow{MG}=λ\overrightarrow{GN}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}-m=-\frac{1}{3}λ}\\{\frac{1}{3}=λ（n-\frac{1}{3}）}\end{array}\right.$，
消去λ得m+n-3mn=0，m，n＞0
∴m+n=3mn≥2$\sqrt{mn}$，所以mn≥$\frac{4}{9}$．所以mn的最小值为$\frac{4}{9}$；
故选：C．

点评 本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量的基本定理和向量在几何中的应用，属于中档题