Question

【题目】已知函数

(1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

(2)若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1).

(2).

【解析】分析：(1)在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即，而当时，，故，从而可得结果；(2) 令，在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得函数的最大值，可证明时不合题意， 当时，只需，从而可得结果.

详解：(1)在区间上单调递增，

则在区间上恒成立.

即，而当时，，故.

所以.

(2)令，定义域为.

在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立.

①若，令，得极值点，

当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在区间上有，不合题意；

当，即时，同理可知，在区间上递增，

有，也不合题意；

②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是.

综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.