题目内容

某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足如下关系：p=
1
96-x
，(1≤x＜c)
2
3
，(x＞c，x∈N)
（其中c为小于96的常数）注：次品率P=
次品数
生产量
，如P=0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品，其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损
A
2
元，故厂方希望定出合适的日产量．
（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？
分析：（Ⅰ）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日产量（x）×次品率（P）×亏损（
A
2
 ），整理即可得到；
（Ⅱ）当x≤c＜96时，利用基本不等式可得x=84时，等号成立，故可分类讨论得：当0＜c＜84时，x=84时，利润最大；当84≤c＜96时，当x=c时，利润最大．
解答：解：（Ⅰ）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日产量（x）×次品率（P）×亏损（
A
2
 ），整理即可得到T=
Ax(1-p)-
A
2
xp=Ax-
3A
2
•
x
96-x
，(1≤x≤c，x∈N)
Ax
3
-
Ax
3
=0，(x＞c，x∈N)

（Ⅱ）当x≤c＜96时，T=A[x+
3
2
-
144
96-x
]=
3
2
A+A[96-(96-x)-
144
96-x
]≤
3
2
A+A(96-24)=
147
2
A
当且仅当x=84时，等号成立．
∴当0＜c＜84时，x=84时，Tmax=
147
2
A
当84≤c＜96时，当x=c时，Tmax=AC+
3
2
A-
144A
96-c

答：当84≤c＜96时，日产量为c时，利润最大；当0＜c＜84时，日产量为84时，利润最大．
点评：本题考查了利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，是中档题．
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某厂生产一种仪器，受生产能力和技术的限制，会产生一些次品，由经验知生产这种仪器，次品率p与日产量x(件)之间大体满足关系：．已知每生产一件合格的仪器可盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，厂方希望定出适当的日产量．(1)试判断：当日产量(件)超过94件时，生产这种仪器能否赢利？并说明理由；(2)当日产量x件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T(元)表示成日产量x(件)的函数；(3)为了获得最大利润，日产量x件应为多少件？

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