Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB=

1

2

CD=1，∠BAD=90°，△PAD为正三角形，且面PAD丄面ABCD，异面直线PB与AD所成的角的余弦值为

5

5

，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求点B到平面PCD的距离；
（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，先证出BE∥AF，继而可证出BE∥平面PAD
（Ⅱ）先证出AB∥面PCD，将点B到平面PCD的距离转化为点A到平面PCD的距离，即为AF的长度．再在△PAD中求解．
 （Ⅲ）延长CB交DA于H，连接PH，证出∠DPC为面PAD与面PBC所成二面角的平面角，在直角△PCD中求解．

解答：解：（Ⅰ）  证明：如图                                                                               

取PD的中点F，连接EF，AF，由E为PC的中点知：EF∥CD，EF=

1

2

CD，
又AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以四边形ABEF为平行四边形，所以  BE∥AF，又BE?面PAD，AF?面PAD，∴BE∥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AF⊥PD，面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥面PAD，又AF?面PAD
∴AF⊥CD，且PD∩CD=D
∴AF⊥面PCD
又AB∥CD，∴AB∥面PCD，∴点A到平面PCD的距离AF等于点B到平面PCD的距 离．                                                                              
取CD的中点G，连接BG，PG由题意知四边形ABCD为矩形，∴∠PBC为异面直线所成的角或其补角．
设正△PAD的边长为a，则在△PBG中易知PB=PG=

a2+1

，BG=a，
∴∠PBG为锐角，由题意得

a2+a2+ 1-a2-1

2a a2+1

=

5

5

，
解得a=2，∴AF=

3

即点B到平面PCD的距离为

3

．
（Ⅲ） 延长CB交DA于H，连接PH，如图

∵AB∥CD，AB=CD=1，PA=AD=2
∴HA=AD=AP
∴DP⊥H，P又CD⊥面PAD
∴PD 为PC在PAD内的射影
∴PC⊥HP
∴∠DPC为面PAD与面PBC所成二面角的平面角
在直角△PCD中，tan∠DPC=

CD

DP

=1
∴∠DPC=45°即平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小为45°．

点评：本题考查线面位置关系、点面距的计算、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．