Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与直线y=3x无公共点，则离心率e的取值范围是（　　）

• A．(1，

  10

  ]
• B．(1，

  10

  )
• C．(

  10

  ，+∞)
• D．（1，3）

Answer 1

分析：将双曲线的方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与直线方程y=3x联立方程组，得到：（b²-9a²）x²=a²•b²，显然当b²-9a²≤0时方程无解，即两曲线无公共点，从而可求得离心率e的取值范围．

解答：解：由

x2 a2 - y2 b2 =1 y=3x

得：（b²-9a²）x²=a²•b²，
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与直线y=3x无公共点，
∴b²-9a²≤0，在双曲线中，c²=b²+a²，
∴c²-a²-9a²≤0，即c²≤10a²，两端同除以a²得：
(

c

a

)2≤10，即e²≤10，又e＞1，
∴1＜e≤

10

．
故选A．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，关键是将两曲线方程联立得到（b²-9a²）x²=a²•b²后对b²-9a²≤0的分析，也是难点所在，考查了学生分析与转化的能力，属于中档题．