题目内容

在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（-2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为- $数学公式$ ．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点（ $数学公式$ ，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．

解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），
依题意，有
$\text{[math]}$ ．（3分）
化简并整理，得 $\text{[math]}$ ．
∴动点P的轨迹C的方程是 $\text{[math]}$ ．（4分）
（Ⅱ）依题意，直线l过点 $\text{[math]}$ 且斜率不为零，故可设其方程为
$\text{[math]}$ ，（5分）
由方程组 $\text{[math]}$ 消去x，并整理得
4（3m²+4）y²+12my-45=0（6分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则
∴ $\text{[math]}$ ，（7分）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，（9分）
①当m=0时，k=0；（10分）
②当m≠0时， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴0 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ 且k≠0．（11分）
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：- $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有 $\text{[math]}$ ．由此可知动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，由方程组 $\text{[math]}$ 消去x，并整理得4（3m²+4）y²+12my-45=0，由此入手可推导出直线MA的斜率k的取值范围．
点评：本题考查轨迹方程的求法和直线方程的知识，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．