Question

在直角坐标平面内，已知点列P₁（1，2）、P₂（2，2²）、P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），…如果n为正偶数，则向量

P1P2

+

P3P4

+

P5P6

+…+

Pk-1Pk

的坐标（用k表示）为

(

k

2

，

2k+1-2

3

)

．

Answer 1

分析：由已知中，P₁（1，2）、P₂（2，2²）、P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），…我们根据向量坐标的确定方法可以求出向量

P1P2

，

P3P4

，

P5P6

，…，

Pk-1Pk

的坐标，进而根据平面向量加法的坐标公式，及等比数列的前n项和公式，易求出答案．

解答：解：∵P₁（1，2）、P₂（2，2²）、P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ）
∴P₁P₂（1，2），P₃P₄（1，2³），P₅P₆（1，2⁵），…，P_k-1P_k（1，2^n-1），
∴

P1P2

+

P3P4

+

P5P6

+…+

Pk-1Pk

=（1+3+5+…+k-1，2+2³+2⁵+…+2^n-1）=(

k

2

，

2k+1-2

3

)，
故答案为：(

k

2

，

2k+1-2

3

)

点评：本题考查的知识点是平面向量的正交分解及坐标表示，等比数列的前n项和，其中根据已知求出向量

P1P2

，

P3P4

，

P5P6

，…，

Pk-1Pk

的坐标，是解答本题的关键．