题目内容

如图：在△ABC中， $数学公式$ ， $数学公式$ ，AD与BC交于点M，设 $数学公式$
（1）若 $数学公式$ （m，n∈R），求m，n的值；
（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使得EF过点M，设 $数学公式$ ，求证：μ+3λ=7λμ．

（1）解：∵C，M，B三点共线，∴存在非零实数k使得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …①…（3分）
又∵D，M，A三点共线，∴存在非零实数t使得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ …②…（6分）
由①②解得： $\text{[math]}$ …（8分）
（2）证明：由（1）知 $\text{[math]}$ ，
∵F，M，E三点共线，∴存在非零实数t使得 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（10分）
∴ $\text{[math]}$
消去t得μ+3λ=7λμ．…（13分）
分析：（1）根据C，M，B三点共线，可得存在非零实数k使得 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用平面向量基本定理可得m，n的关系，同理D，M，A三点共线，可得m，n的关系，由此即可求得m，n的值；
（2）将 $\text{[math]}$ 两次线性表示，利用平面向量基本定理，建立等式，消参，即可证得结论
点评：本题考查向量在几何中的应用，考查平面向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．