Question

 

设a>0，函数f(x)=x2+a|lnx－1|.

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1出的切线方程；

（II）当x∈[1，+∞)时，求函数f(x)的最小值.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）当a=1时，

令x=1得f(1)=2，f ′(1)=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为：x－y+1=0. …………4分

（Ⅱ）①当x≥e时，

a>0，恒成立. f(x)在[e，+∞)上增函数.

故当x=e时，ymin=f(e)=e2

②当1≤x<e时，

（ⅰ）当，即0<a≤2时，在时为正数，所以f(x)在区间[1，e）上为增函数.故当x=1时，ymin=1+a，且此时f(1)<f(e).

（ⅱ）当1<<e，即2<a<2e2时，在时为负数，在时为正数.所以f(x)在区间上为减函数，在上为增函数

故当时，，且此时

（ⅲ）当≥e；即a≥2e2时，在时为负数，所以f(x)在区间[1,e]上为减函数，故当x=e时，ymin=f(e)=e2.

综上所述，当a≥2e2时，f(x)在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2.所以此时f(x)的最小值为f(e)= e2；

当2<a<2e2时，f(x)在x≥e的最小值为f(e)= e2，f(x)在1≤x≤e的最小值为，而，所以此时f(x)的最小值为.

当0<a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x<e时的最小值为f(1)=1+a，而f(1)<f(e)，所以此时f(x)的最小值为f(1)=1+a

所以函数y=f(x)的最小值为

 ………………………12分