Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n=3ⁿ+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_nb_n=log₃a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n．求$\frac{4}{3}$|T_n-$\frac{13}{12}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，通过a_n=S_n-S_n-1计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）、利用对数性质可知数列{b_n}的通项公式，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=3ⁿ+3，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（3ⁿ+3）-$\frac{1}{2}$（3^n-1+3）=3^n-1，
又∵a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（3+3）=3不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，}&{n=1}\\{\frac{n-1}{{3}^{n-1}}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
两式错位相减得：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
=$\frac{2}{9}$+$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
=$\frac{13}{18}$-$\frac{2n+1}{2•{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{4}{3}$|T_n-$\frac{13}{12}$|=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法计算即得结论，注意解题方法的积累，属于中档题．