Question

11．在△ABC中，a、b、c为△ABC的三内角A、B、C的对边，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则tan2A=2$\sqrt{2}$，若sin（$\frac{π}{2}$+B）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，则S_△ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 有条件利用同角三角函数的基本关系求出cosA的值，可得tanA的值，利用二倍角公式求得tan2A的值．利用诱导公式求得 sinB 的值、再由sinC=sin（A+B）、两角和的正弦公式求出sinC，应用正弦定理求得a的值，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac•sinB的值．

解答 解：在△ABC中，∵cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴tan2A=$\frac{2tanA}{1{-tan}^{2}A}$=2$\sqrt{2}$．
∵sin（$\frac{π}{2}$+B）=cosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴sinB=$\frac{1}{3}$，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵c=2$\sqrt{2}$，利用正弦定理可得 $\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$，∴a=2，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$；$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．