题目内容

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥平面AEF；
（2）若AB=3，AD=4，AA₁=5，M是B₁C₁的中点，求AM与平面AEF所成角的大小；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥D-AEF的体积．

（1）证明：∵BC⊥面A₁B，∴A₁C在面A₁B上的射影为A₁B
∵A₁B⊥AE，AE?面A₁B，∴A₁C⊥AE，
同理A₁C⊥AF，
∵AE∩AF=A，
∴A₁C⊥面AEF．
（2）解：以C为原点，射线CD、CB、CC₁分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（3，4，0），A₁（3，4，5），M（0，2，5）．
∴ $\text{[math]}$ =（-3，-4，-5）， $\text{[math]}$ =（-3，-2，5）
设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ，则cosθ= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴AM与平面AEF所成的角大小为arcsin $\text{[math]}$ ．
（3）解：∵AF⊥A₁D，∴△A₁AD∽△ADF，∴ $\text{[math]}$ ，∴DF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）证明A₁C⊥AE，A₁C⊥AF，利用线面垂直的判定，即可证得A₁C⊥面AEF；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用向量的夹角公式，即可求得AM与平面AEF所成的角；
（3）先计算DF，再利用等体积转化，即可求得三棱锥D-AEF的体积．
点评：本题考查线面垂直，考查线面，考查三棱锥的体积，掌握线面垂直的判定，正确运用向量法求线面角是关键．