Question

如图，α和β为平面，α∩β＝l，A∈α，B∈β，AB＝5，A，B在棱l上的射影分别为．若二面角α―l―β的大小为，求：

(Ⅰ)点B到平面α的距离；

(Ⅱ)异面直线l与AB所成的角(用反三角函数表示)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如上图，过点作直线C∥A．且使C＝A．过点B作BD⊥C，交C的延长线于D． 　　由已知A⊥l，可得D⊥l，又已知B⊥l，故l⊥平面BD，得BD⊥l．又因BD⊥C，从而BD⊥平面，BD之长即为点B到平面α的距离． 　　因C⊥l且B⊥l，故∠BC为二面角的平面角． 　　由题意，∠BC＝．因此在Rt△BD中，B＝2，∠BD＝∠BC＝，BD＝B·sinBD＝． 　　(Ⅱ)连接AC、BC．因C∥A，C＝A，A⊥l，知AC为矩形，故AC∥l．所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角． 　　在△BC中，B＝2，C＝3，∠BC＝，则由余弦定理， 　　． 　　因BD平面，且DCCA，由三垂线定理知ACBC． 　　故在△ABC中，∠BCA＝，sinBAC＝． 　　因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin．

提示：

本题主要考查立体几何中的主干知识，如线线角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识，本题属中等题．