Question

(本小题满分13分)
如图，已知、为平面上的两个定点，，且，（为动点，是和的交点）.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；
（Ⅱ）若点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与直线相交于一点，证明＜（为的中点）．

Answer 1

解：（Ⅰ）以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.
由题设，，
∴，而.
∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆.
故点的轨迹方程是.…………………………………（4分）
（Ⅱ）设，，.
∴，且，即.
又、在轨迹上，∴，.
即，.
代入整理，得
.
∵，∴．
∵，，∴．
∵，∴.
∴，即＜．……………………………………………（13分）

解析