Question

（08年浙江卷）（本题14分）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？

Answer 1

【解析】  本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。

方法一：

（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，又为矩形，

所以，从而四边形为平行四边形，

故．

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得平面，

从而．

所以为二面角的平面角．

在中，因为，，所以，．

又因为，所以，

从而．

于是．

因为，

所以当为时，二面角的大小为．

方法二：如图，

以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，

建立空间直角坐标系．设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：，，，

所以，，从而，，

所以平面．

因为平面，所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因为，，

所以，，从而

解得．

所以，．

设与平面垂直，则，，

解得．

又因为平面，，

所以，得到．

所以当为时，二面角的大小为．