Question

（本小题12分）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，，．

（Ⅰ）若异面直线与所成的角为，求棱柱的高；
（Ⅱ）设是的中点，与平面所成的角为，当棱柱的高变化时，求的最大值．

Answer 1

(1)1(2)

试题分析：解：建立如图2所示的空间直角坐标系，设，则有

，，，，
，，.                       ……… 2分
（Ⅰ）因为异面直线与所成的角，所以，
即，得，解得.              ………… 6分
（Ⅱ）由是的中点，得，于是.
设平面的法向量为，于是由，，可得
 即 可取， ………… 8分
于是.而. 

令，………………………………10分
因为，当且仅当，即时，等号成立.
所以，
故当时，的最大值.               ………………1 2分
点评：对于几何体中的高的求解，可以借助于勾股定理来得到，同时对于线面角的求解，一般分为三步骤：先作，二证，三解。这也是所有求角的一般步骤，属于中档题。