Question

设a，b均为正数，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）如果依次称、、分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于a，b均为正数，根据基本不等式，可得=，即可得出；
（II）在直角三角形中，由DC为高，根据射影定理可得CD²=AC•CB，变形两边开方，得到CD长度为a，b的几何平均数；根据在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD²=DE•CB，得到DE的长，再由DC≥DE，得到结果．
解答：解：（I）证明：由于a，b均为正数，根据基本不等式，可得=，即，
当且仅当a=b时，等号成立．
（II）在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD²=AC•CB，
∴CD=，即CD长度为a，b的几何平均数，
在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD²=DE•CB，
∴DE===，由DC≥DE，得≥，当且仅当a=b时，等号成立，
∴线段DE的长度分别为a，b的调和平均数．
点评：本题是一个新定义问题，解题过程中主要应用直角三角形边之间的比例关系，得到比例式，本题是一个平面几何与代数中的平均数结合的问题，是一个综合题．