题目内容

设a，b均为正数，
（Ⅰ）求证：
ab
≥
2
1
a
+
1
b
；
（Ⅱ）如果依次称
a+b
2
、
ab
、
2
1
a
+
1
b
分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．
分析：（I）由于a，b均为正数，根据基本不等式，可得
1
a
+
1
b
2
≥
1
a
×
1
b
=
1
ab
，即可得出
ab
≥
2
1
a
+
1
b
；
（II）在直角三角形中，由DC为高，根据射影定理可得CD2=AC•CB，变形两边开方，得到CD长度为a，b的几何平均数；根据在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD2=DE•CB，得到DE的长，再由DC≥DE，得到结果．
解答：解：（I）证明：由于a，b均为正数，根据基本不等式，可得
1
a
+
1
b
2
≥
1
a
×
1
b
=
1
ab
，即
ab
≥
2
1
a
+
1
b
，
当且仅当a=b时，等号成立．
（II）在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2=AC•CB，
∴CD=
ab
，即CD长度为a，b的几何平均数，
在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD2=DE•OD，
∴DE=
DC2
OD
=
ab
a+b
2
=
2
1
a
+
1
b
，由DC≥DE，得
ab
≥
2
1
a
+
1
b
，当且仅当a=b时，等号成立，
∴线段DE的长度分别为a，b的调和平均数．
点评：本题是一个新定义问题，解题过程中主要应用直角三角形边之间的比例关系，得到比例式，本题是一个平面几何与代数中的平均数结合的问题，是一个综合题．
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（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）如果依次称、、分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．
设a，b均为正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

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