Question

19、设a，b均为正数，且a≠b，求证：a³+b³＞a²b+ab²．

Answer 1

分析：本题可用分析法与综合法来解答：法一，分析法：证明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分条件成立，法二，综合法：由条件a≠b推出：a²-2ab+b²＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．

解答：解：证明：法一：（分析法）
要证a²+b²＞a²b+ab²成立，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立
又因为a＞0，
只需证a²-ab+b²＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）²＞0显然成立，
由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，
∴a-b≠0
∴a²-2ab+b²＞0
∴a²-ab+b²＞ab（*）
而a，b均为正数，
∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）
∴a³+b³＞a²b+ab²．

点评：此题还可用比较法证明，体会不同方法间的区别联系．