Question

已知函数f(x)=为R上的奇函数.

（1）求f(x)及f^-1(x)的解析式；

（2）若当x∈(-1,1)时，不等式f^-1(x)≥log₂恒成立，试求m的取值范围.

Answer 1

解析：（1）∵f(x)= 是奇函数，

∴f(x)+f(-x)=0,

即+==a-1=0.

∴a=1，∴f(x)=.

设y=,则(2^x+1)y=2^x-1,

∴2^x=,x=log₂.

令＞0得-1＜y＜1,

∴f(x)的反函数为y=f^-1(x)=log₂,x∈(-1,1).

（2）∵当x∈(-1,1)时，f^-1(x)≥log₂恒成立，即log₂≥log₂,

∴≥.∵x∈(-1,1),

∴1+x＞0,1-x＞0,m＞0.

∴m≥1-x.当x∈(-1,1)时,1-x的取值集合为（0，2），∴m≥2.