题目内容
已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量
=（sinB，1-cosB）与向量
=（2，0）的夹角θ的余弦值为
．
（1）求角B的大小；
（2）若b=
，求a+c的取值范围．
| m |
| n |
| 1 |
| 2 |
（1）求角B的大小；
（2）若b=
| 3 |
分析：（1）△ABC中，由条件求得cosθ=
=cos
=
，由此可得B的值．
（2）由以上可得A+C=
，利用两角和差的正弦公式求得sinA+sinC=sin（A+
），根据0＜A＜
，求得sinA+sinC∈(
，1]，由此可得a+c=
(sinA+sinC)=2(sinA+sinC)的范围．
| ||||
|
|
| B |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）由以上可得A+C=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| b |
| sinB |
解答：解：（1）△ABC中，因为
═（sinB，1-cosB）=2sin
•(cos
，sin
)，
=（2，0），
∴
•
=4sin
cos
，|
|=2sin
，|
|=2，
所以，cosθ=
=cos
．…（4分）
由cos
=
，0＜θ＜π，可得
=
，即B=
．…（7分）
（2）因为B=
，所以A+C=
．
所以sinA+sinC=sinA+sin(
-A)=sinA+sin
cosA-cos
sinA
=
sinA+
cosA=sin(
+A)． …（10分）
又0＜A＜
，所以
＜
+A＜
．所以，sinA+sinC∈(
，1]．…（12分）
又a+c=
(sinA+sinC)=2(sinA+sinC)，
所以a+c∈(
，2]．…（14分）
| m |
| B |
| 2 |
| B |
| 2 |
| B |
| 2 |
| n |
∴
| m |
| n |
| B |
| 2 |
| B |
| 2 |
| m |
| B |
| 2 |
| n |
所以，cosθ=
| ||||
|
|
| B |
| 2 |
由cos
| B |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| B |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（2）因为B=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
所以sinA+sinC=sinA+sin(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
又0＜A＜
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| ||
| 2 |
又a+c=
| b |
| sinB |
所以a+c∈(
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，
属于中档题．
属于中档题．
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