Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，，为棱的中点，为棱的动点.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求点的位置.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点为线段的中点.

【解析】

（1）分析出是等边三角形，由三线合一得出，由，由，由底面，可得出，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，计算出平面和平面的法向量、，由计算出实数的值，即可确定点的位置.

（1）如下图所示，由于四边形是菱形，则，

又，是等边三角形，为的中点，，

，.

底面，平面，，

，、平面，平面；

（2）由（1）知，，且底面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、、，设，

则，，，

设平面的一个法向量为，

由，即，得，

取，则，，则平面的一个法向量为.

同理可得平面的一个法向量为，

由题意可得，解得.

因此，当点为线段的中点时，二面角的余弦值为.