Question

【题目】已知函数.

（1）当时，试判断函数的极值情况，并说明理由；

（2）若有两个极值点，.

①求实数的取值范围；

②证明：.注：是自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）函数无极值；（2）①；②证明见详解

【解析】

（1）把代入函数解析式，求出函数的导函数，把导函数二次求导，求出导函数的最大值，得到导函数的最大值小于，从而可得原函数在实数集上的减函数，进而可判断函数的极值情况.

（2）①把函数有两个极值点转化为其导函数有两个零点，该函数先减后增有极小值，然后根据图像的交点情况得到的范围；②由是原函数的导函数的根，把代入导函数解析式，用表示，然后把的表达式中的替换，得到关于的函数式后再利用求导判断单调性，从而得到要证的结论.

（1）当时，，

则，

令，，

当时，，

当时，，

当时，，

函数在上为增函数，在上为减函数，

，

故恒成立，所以在上为减函数，

故函数无极值.

（2）①由，

所以，

若有两个极值点，，则，是方程的两根，

故方程有两个根，，

又因为显然不是该方程的根，所以方程，有两个根，

设，得，

若时，且，单调递减.

若时，

当时，，单调递减.

当时，，单调递增，

要使方程有两个根，需，

故且，

故实数的取值范围为.

②证明：由，得，

故，

，

设，

则，在上单调递减，

故，即.