Question

在三棱锥S－ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD上；点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M－AB－C等于∠NSC，求证：SC⊥截面MAB．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵ N是S在底面ABC上的射影，且N∈CD， ∴ 直线CD是直线SC在底面ABC的射影． ∵ AB⊥CD， ∴ AB⊥SC，又SC∩CD=C， ∴ AB⊥平面SCD．连MD，MD平面SCD， ∴ AB⊥MD， ∴ ∠MDC是二面角M－AB－C的平面角， ∴ ∠MDC=∠NSC． 在△MDC和△NSC中，∠SCD是公共角，∠MDC=∠NSC， ∴ ∠DMC=∠SNC=90°， 即DM⊥SC， 又SC⊥AB，AB∩DM=D， ∴ SC⊥平面MAB．