Question

已知f(x)＝x2－x＋c的定义域为［0，1］，x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2． (1) 证明：｜f(x2)－f(x1)｜＜｜x2－x1｜ (2) 证明：｜f(x2)－f(x1)｜＜

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：由f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·(x2＋x1－1)．∵x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2， ∴0＜x1＋x2＜2． 　　于是－1＜x1＋x2－1＜1，即｜x1＋x2－1｜＜1， 　　∴｜f(x2)－f(x1)｜＝｜x2－x1｜·｜x1＋x2－1｜ 　　　　　　　　　 ＜｜x2－x1｜·1＝｜x2－x1｜．
(2)	方法一　∵f(x)＝x2－x＋c＝(x－)2＋c－，且0≤x≤1 　　∴c－≤f(x)≤c．于是f(x1)∈［c－，c］f(x2)∈［c－，c］，－f(x2)∈［－c，－c］，∴－≤f(x1)－f(x2)≤． 　　∴｜f(x1)－f(x2)｜≤＜． 　　方法二　当≤x1＜x2≤1时，｜f(x1)－f(x2)｜＜｜x1－x2｜≤｜－1｜＝；类似地，当0≤x1＜x2＜时，命题也成立． 　　当0≤x1＜≤x2≤1时，∵f(x)的图象关于x＝对称，∴f(x1)＝f(1－x1)．而＜1－x1≤x2≤1，∴｜f(1－x1)－f(x2)｜＜｜(1－x1)－x2｜≤，即｜f(x1)－f(x2)｜＜． 　　综上证明．知｜f(x1)－f(x2)｜＜恒成立．