题目内容
【题目】已知
，
为椭圆E：
的左、右焦点，过点
的直线l与椭圆E有且只有一个交点T．
（1）求
面积的取值范围．
（2）若有一束光线从点射出，射在直线l上的T点上，经过直线l反射后，试问反射光线是否恒过定点？若是，请求出该定点；若否，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）是，定点
【解析】
（1）由题意设直线l的方程为：
，将代入
，得
，由
，解得
，由韦达定理得切点T的
，
的面积
，根据m的范围即可求出；
（2）由对称性和（1）得，不妨取切点
，则直线l：
，设
关于l对称的点为
，经计算得
，
，直线
恒过定点，即可得答案.
（1）
，∴直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为l：，
将代入，得，
因为直线l与椭圆E有且只有一个交点T，所以
，解得，
此时求得
，由，得
，
，所以切点T的坐标为，又，，
所以的面积
，又，
，
．
（2）由对称性和（1）得，不妨取切点，则直线l：，设关于l对称的点为，
则
，
，
．
，
，
故直线的斜率为
，
所以直线的方程为
，即恒过定点，
所以光线
被直线l反射后恒过定点．
【题目】有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用
表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标
的值评定石榴的等级，若
则为一级；若
则为二级；若
则为三级.
近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：
种植园编号 | A | B | C | D | E | F |
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种植园编号 | G | H | I | J | K | L |
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（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；
（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，
表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量的分布列及数学期望.
【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量
（单位：
）和与它“相近”的株数
具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；
（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为
，计划收获后能全部售出，价格为10元
，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则
的最大值是多少？
（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
.
