Question

【题目】已知函数在处取得极小值.

（1）求实数的值；

（2）若函数存在极大值与极小值，且函数有两个零点，求实数的取值范围.（参考数据：，）

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）根据极值的定义，求出或，再对的两种取值分别进行验证；

（2）由第（1）问先确定，得到，利用导数研究函数的单调性，即函数在上单调递增，在上单调递减，再结合零点存在定理的条件，得到参数的取值范围.

解：（1）由题意得.

因为函数在处取得极小值，

依题意知，解得或.

当时，，若，，则函数单调递减，

若，，则函数单调递增，

所以，当时，取得极小值，无极大值，符合题意.

当时，，若或，，则函数单调递增；

若，，则函数单调递减，所以函数在处取得极小值，处取得极大值，符合题意，

综上，实数或.

（2）因为函数存在极大值与极小值，所以由（1）知，.

所以，.

当时，，故函数在上单调递增，

当时，令，则，所以当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

因为，

，所以当时，，故在上单调递减.

因为函数在上有两个零点，所以，所以.

取，；

取，，

所以，实数的取值范围是.