Question

（2008•河西区三模）已知函数f（x）=x³+ax²-4（其中a为常数）
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入函数解析式，求出函数的导函数，取x=1得到切线的斜率，同时求出切点，利用直线方程的点斜式得答案；
（2）求出原函数的导函数，由f（x）在区间[0，2]上是增函数，得其导函数在[0，2]上大于等于0恒成立，分离参数后由单调性求最值，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x³+2x²-4，f'（x）=3x²+4x，k=f'（1）=7
又f（1）=-1，∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+1=7（x-1），即7x-y-8=0；
（2）f'（x）=3x²+2ax，要使f（x）在区间[0，2]上是增函数
只要f'（x）=3x²+2ax＞0在[0，2]上恒成立
即a＞-

3x

2

在[0，2]上恒成立
因为y=-

3x

2

在[0，2]上单调递减，而y=-

3x

2

在[0，2]上的最大值为0，∴a＞0
又a=0时，f'（x）=3x²在区间[0，2]上是增函数．
∴综上得a≥0

点评：本题主要考查利用导数求曲线在某点处的切线方程，考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了分离参数法，训练了利用单调性求函数的最值，属基础题．