Question

14．已知函数f（x）=e^x+ax（a∈R），g（x）=lnx（e为自然对数的底数）．
（1）设曲线y=f（x）在x=1处的切线为l，直线l与y=ex+3平行，求a的值；
（2）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，函数M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可；
（3）求出M（x），通过求M（x）的导数，判断函数的单调性，从而得到函数有无极值即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a，
∴f′（1）=e+a=e，解得：a=0；
（2）f′（x）=e^x+a，
a≥-1时，f′（x）≥0，f（x）递增，
f（x）＞f（0）=1，成立，
a＜-1时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln（-a），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ln（-a），
∴f（x）在[0，ln（-a）]递减，在[ln（-a），+∞）递增，
∴f（x）≥f[ln（-a）]=e^ln（-a）+aln（-a）＞0，
即a[ln（-a）-1]＞0，解得：-e＜a＜0，
综上，a＞-e；
（3）a=-1时，f（x）=e^x-x，
∴M（x）=g（x）-f（x）=lnx-e^x+x，
M′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x+1，M″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-e^x＜0，
∴M′（x）在[1，e]递减，
∴M′（x）＜M′（1）=2-e＜0，
∴M（x）在[1，e]递减，
函数M（x）在[1，e]无极值．

点评 本题考查了函切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．