Question

某院校招收学员，指定三门考试课程．甲对三门指定课程考试通过的概率都是

1

2

，乙对三门指定课程考试通过的概率都是

2

3

，且三门课程考试是否通过相互之间没有影响．求：
（Ⅰ）甲恰好通过两门课程的概率；
（Ⅱ）乙至多通过两门课程的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多通过两门课程的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲恰好通过两门课程的为

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)3-2，计算后即可得到结果．
（Ⅱ）乙至多通过两门课程的对立事件为乙通过三门课程的利用对立事件概率减法公式可得乙至多通过两门课程的概率1-(

2

3

)3，计算后即可得到结果．
（Ⅲ）甲恰好比乙多通过两门课程的事件分为两种情况，甲恰通过两门且乙恰都没通过，甲恰通过三门且乙恰通过一门，而两种情况为互斥事件，利用互斥事件概率加法公式即可得到甲恰好比乙多通过两门课程的概率

解答：解：（Ⅰ）甲恰好通过两门课程的概率为

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)3-2=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

．（3分）
（Ⅱ）乙至多通过两门课程的概率1-(

2

3

)3=

19

27

．（7分）
（Ⅲ）设甲恰好比乙多通过两门课程为事件A，
甲恰通过两门且乙恰都没通过为事件B₁，
甲恰通过三门且乙恰通过一门为事件B₂，
则A=B₁+B₂，B₁，B₂为互斥事件．（9分）
P(A)=P(B1)+P(B2)=

3

8

•

1

27

+

1

8

•

2

9

=

1

24

．（13分）
所以，甲恰好比乙多通过两门课程的概率为

1

24

．（14分）

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．