Question

如图，四棱锥E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F为CE上的点，且BF平面AC E．

（1）求证：AEBE；
（2）求三棱锥D—AEC的体积；
（3）求二面角A—CD—E的余弦值．

Answer 1

（1）空间中的线线垂直的证明，一般主要是通过线面垂直的性质定理来加以证明。
（2）
（3）

试题分析：解：（1）ABCD是矩形，BCAB，平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD，BC平面EAB，
EA平面EAB，BCEA ，BF平面ACE，EA平面ACE，BF EA， BC BF=B，BC平面EBC，BF平面EBC，EA平面EBC ，BE平面EBC， EA BE。 
（2） EA BE，AB=
 ，设O为AB的中点，连结EO，
∵AE=EB=2，EOAB，平面EAB平面ABCD，EO平面ABCD，即EO为三棱锥E—ADC的高，且EO=，。
（3）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为，如图建立空间直角坐标系，

则，
 ，由（2）知是平面ACD的一个法向量，设平面ECD的法向量为，则，即，令，则，所以，设二面角A—CD—E的平面角的大小为，由图得，
所以二面角A—CD—E的余弦值为。
点评：解决的关键是熟练的根据线面垂直的性质定理，以及建立直角坐标系来求解二面角的 平面角是常用 方法之一，属于基础题。