Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的准线方程为．

（1）求p的值；

（2）过抛物线C的焦点的直线l交抛物线C于点A，B，交抛物线C的准线于点P，若A为线段PB的中点，求线段AB的长．

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】

(1)根据抛物线的准线标准方程求交集即可.

(2) 设直线l的方程为,联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理以及中点坐标表达A为线段PB的中点,代入可得,.再代入韦达定理化简求解得,继而利用弦长公式求解线段AB的长即可.

（1）因为,所以.

（2）因为直线l交抛物线C的准线于点P,所以直线l存在斜率.

设直线l的方程为,

.

令,得,所以.

由,得.

因为直线l与抛物线C有两个交点,

所以,且,

所以,.

因为A为线段PB的中点,

所以.

由,得,.

因为,

化简得,

解得,

故.