题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中已知椭圆
，焦点在x轴上的椭圆
与
的离心率相同，且椭圆的外切矩形ABCD（两组对边分别平行于x轴、y轴）的顶点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设
为椭圆上一点（不与点A、B、C、D重合）.
①若直线：
，求证：直线l与椭圆相交；
②记①中的直线l与椭圆C1的交点为S、T，求证
的面积为定值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析②证明见解析
【解析】
（1）由于离心率相同可设
方程为
.代入矩形顶点坐标可求得
，得方程；
（2）①直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后计算
，同时验证在
的直线与椭圆
也是相交的，证得结论；
②设
，由弦长公式得
计算出弦长，再求出
到直线
的距离
，计算面积即可得．
（1）依题意设椭圆的方程为.
因为椭圆
的外切矩形ABCD的四个顶点为
，
将点
代入方程中，得
，
所以椭圆的标准方程为.
（2）①联立
，消去y得
.
因为
为椭圆上一点，
所以
从而
，
则
.
特别地，当
时，
，
此时直线
与椭圆也相交，
所以直线
与椭圆相交.
②设
由①
，
知
，从而
又因为点到直线
的距离
，
所以
，
所以
的面积为定值.
名校课堂系列答案
【题目】在传染病学中，通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天） |
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人数 |
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（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期 | 潜伏期 | 总计 | |
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总计 |
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（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
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，其中
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