Question

已知函数是幂函数，且图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f^-1（x）并讨论其单调性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由给出的函数是幂函数，则系数等于1，由系数等于1求出m的值，代入原函数后需保证函数为偶函数，否则舍掉；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函数的解析式，求出定义域后，再把x用含有y的代数式表示，则可求得函数的反函数，然后利用函数的单调性定义证明．
解答：解：（Ⅰ）因为是幂函数，
则m²-3=1，解得：m=±2．
当m=2时，f（x）=x³，图象不关于y轴对称，舍去；
当m=-2时，f（x）=x²，满足f（x）的图象关于y轴对称，
所以所求的函数解析式为f（x）=x²．
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，由y=x²，得y≥0．
又由y=x²，得：，
∴．
函数在[0，+∞）上是增函数．
事实上，在[0，+∞）任取两个实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，
则

∵0≤x₁＜x₂，∴．
∴．即．
故在[0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查了幂函数的定义，需要注意的是，只有y=x^α型的函数才是幂函数，考查了函数的奇偶性，训练了函数反函数的求法及利用定义证明函数单调性，此题是中档题．