Question

正项数列{a_n}中，前n项和为S_n，且a₁=2，且．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设，T_n=b₁+b₂+…+b_n，证明．

Answer 1

考点：

数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和．

专题：

综合题；等差数列与等比数列．

分析：

（1）根据a_n=S_n﹣S_n﹣1消掉所给等式中的a_n，变为S_n与S_n﹣1的递推式，通过变形可判断是首项为公差为的等差数列，从而可求S_n，再代入可求得a_n，注意验证n=1是否成立．

（2）由（1）表示出b_n，利用错位相减法可求得T_n，根据其表达式易证T_n＜7，再判断{T_n}单调性，由单调性可证得T_n．

解答：

（1）解：由，得，

∴，

∴，

∴是首项为公差为的等差数列，∴，∴，

∴，对n=1也成立，

∴a_n=4n﹣2；

（2）证明：，

，

，

两式相减，得=，

所以，

∵，

下面证明，

∵，∴T_n+1＞T_n，∴{T_n}单调递增，

∴，

∴

点评：

本题考查数列递推式、等差数列通项公式及数列求和，若{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，则{a_nb_n}的前n项和宜用错位相减法求解．