Question

14．已知数列{an}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+2^-n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{2ⁿ•a_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2，再由等差数列的定义，即可得证；
（2）运用等差数列的通项公式，可得a_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求．

解答 解：（1）证明：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+2^-n（n∈N^*），
可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2，
即有数列{2ⁿ•a_n}是首项为2a₁=1，公差为2的等差数列；
（2）由（1）可得2ⁿ•a_n=1+2（n-1）=2n-1，
即有a_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
前n项和S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．
两式相减可得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．
化简可得，S_n=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查构造数列的思想，以及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．