Question

4．设a为实参数，试讨论y=asin²x+2cosx-a-2的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由条件利用余弦函数的值域，二次函数的性质，分类讨论，求得y的最值．

解答 解：当a=0时，y=2cosx-2，它的最大值为0，最小值为-4．
当a≠0时，y=asin²x+2cosx-a-2=-acos²x+2cosx-2=-a•${（cosx-\frac{1}{a}）}^{2}$+$\frac{1}{a}$-2，
若a∈（0，1）时，$\frac{1}{a}$＞1，当cosx=1时，函数y取得最大值为-a；当cosx=-1时，函数y取得最小值为-a-4．
若a∈[1，+∞）时，$\frac{1}{a}$∈（0，1]，当cosx=$\frac{1}{a}$时，函数y取得最大值为$\frac{1}{a}$-2；当cosx=-1时，函数y取得最小值为-a-4．
若a∈（-1，0）时，$\frac{1}{a}$＜-1，当cosx=-1时，函数y取得最小值为-a-4；当cosx=1时，函数y取得最大值为-a．
若a∈（-∞，1]时，$\frac{1}{a}$∈[-1，0），当cosx=$\frac{1}{a}$时，函数y取得最小值为$\frac{1}{a}$-2；当cosx=1时，函数y取得最大值为-a．

点评 本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．