Question

一动点P从边长为1的正方形ABCD的一个顶点A出发，沿着正方形的边界ABCD运动一周最后回到点A，若点P运动的路程为x，点P到点A的距离为y，求y与x的函数关系式，并指出函数的定义域和值域．

Answer 1

分析：根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到4时分别进行分析，并写出分段函数，最后求出定义域与值域．

解答：解：设动点P按A-B-C-D-A的顺序沿正方形的边界运动一周，则
当0≤x＜1时，y=x，
当1≤x＜2时，y=

(x-1)2+1

，
当2≤x＜3时，y=

(3-x)2+1

，
当3≤x≤4时，y=4-x
∴所求函数关系式是
y=

x，(0≤x＜1) (x-1)2+1 ，(1≤x＜2) (3-x)2+1 ，(2≤x＜3) 4-x，(3≤x＜4)

，
函数的定义域为[0，4]，
值域为[0，

2

]．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．本题需要构建一个点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式．并注明取值范围．需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．