Question

正三棱锥P-ABC中，M，N是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN垂直于侧面PBC，求棱锥的侧面积与底面积的比．

Answer 1

分析：画出图形，说明棱锥的棱长等于底面三角形的高，设出高，然后求出侧面面积，底面面积即可得到比值．

解答：解：取MN的中点H，连接PH交BC于E，连接AE、AH，因为正三棱锥P-ABC中，所以PA=PB=PC，M，N是侧棱PB、PC的中点，所以AH⊥MN，
截面AMN垂直于侧面PBC，所以BC⊥平面PAE，
∴AH是PE的垂直平分线．所以，PA=AE
设PA=a，所以AB=

2 3 a

3

，
棱锥的侧面积为：3×

1

2

×

2 3 a

3

×

a2-( 3 a 3 )2

=

2

a²．
底面面积为：

3

4

(

2 3 a

3

)2=

3

3

a²．
棱锥的侧面积与底面积的比：

2

3 3

=

6

．

点评：本题考查空间几何体的想象能力，逻辑推理能力与计算能力．