Question

△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²+c²-a²+bc=0，
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，求△ABC面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题中等式，利用余弦定理算出cosA=-

1

2

，结合A为三角形的内角，可得A=

2π

3

；
（2）利用基本不等式，算出bc≤1，当且仅当b=c=1时等号成立．由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABC面积S_△ABC的最大值．

解答：解：（1）∵△ABC中，b²+c²-a²+bc=0，∴b²+c²-a²=-bc
因此cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

-bc

2bc

=-

1

2

∵A为三角形的内角，∴A=

2π

3

；
（2）∵b²+c²-a²+bc=0，a=

3

∴a²=b²+c²+bc=3，得b²+c²=-bc+3≥2bc
解之得bc≤1，当且仅当b=c=1时等号成立
∵△ABC面积S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc
∴当且仅当b=c=1时，△ABC面积S_△ABC的最大值为

3

4

．

点评：本题给出三角形的边之间的平方关系，求角的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正余弦定理解三角形、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．