Question

如图所示，直线x=2与双曲线C：

x2

4

-y2=1的渐近线交于E₁，E₂两点，记

OE1

=

e1

，

OE2

=

e2

，任取双曲线C上的点P，若

OP

=a

e1

+b

e2

，则实数a和b满足的一个等式是

4ab=1

．

Answer 1

分析：求出双曲线C的渐近线方程为y=±

1

2

x，令x=2，得出直线x=2与双曲线C的渐近线交于点E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得

e1

=（2，1），

e2

=（2，-1）．再设双曲线C上的点P坐标为（x₀，y₀），根据

OP

=a

e1

+b

e2

，利用向量的坐标运算，可得点P坐标为（2a+2b，a-b），最后将这个坐标代入

x2

4

-y2=1，化简后即可得到4ab=1，即为所求．

解答：解：∵双曲线C的方程是

x2

4

-y2=1
∴双曲线C的渐近线方程为y=±

1

2

x
∴直线x=2与双曲线C的渐近线交于点E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得

e1

=（2，1），

e2

=（2，-1），
设双曲线C上的点P坐标为（x₀，y₀），
∵

OP

=a

e1

+b

e2

，
∴

x0=2a+2b y0=a-b

，即点P坐标为（2a+2b，a-b）
∵点P在双曲线C：

x2

4

-y2=1上
∴

(2a+2b)2

4

-（a-b）²=1，即4ab=1
故答案为：4ab=1

点评：本题以向量的坐标运算为载体，考查了双曲线的基本概念与简单几何性质，以及平面向量基本定理等知识点，属于基础题．