Question

10．（1）二阶矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}]$；
（Ⅰ）求点A（1，2）在变换M^-1作用下得到的点A′；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x-y=4，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出矩阵M的逆矩阵${M}^{-1}=[\begin{array}{l}{-2}&{1}\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}]$，从而求出乘积${M}^{-1}[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$，即可得出点A′的坐标；
（Ⅱ）可设l上的任意点为（x，y），在变换M的作用下得到点（x′，y′），从而根据$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]=[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}][\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$即可用x，y表示x′，y′，然后带入x-y=4即可得出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）detM=1×4-2×3=-2；
∴${M}^{-1}=[\begin{array}{l}{-2}&{1}\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}]$；
向量$[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$在线性变换M^-1作用下变为向量：
${M}^{-1}[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]=[\begin{array}{l}{-2}&{1}\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}\\{\frac{1}{2}}\end{array}]$；
∴点A′的坐标为$（0，\frac{1}{2}）$；
（Ⅱ）（x，y）为直线l上的点，在变换M作用下变成（x′，y′），则：
由$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]=[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}][\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$得：
$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+2y}\\{y′=3x+4y}\end{array}\right.$；
∵（x′，y′）为直线x-y=4上的点；
∴x′-y′=4；
∴（x+2y）-（3x+4y）=4；
整理得：x+y=-2；
即l的方程为x+y=-2．

点评 考查二阶矩阵的概念，以及二阶矩阵和向量的乘积运算，会求一个二阶矩阵的逆矩阵，知道点在线性变换的作用下还是一个点．