Question

已知a、b、c∈R，求证：a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 　　∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)． 　　∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca． 　　变式引申：已知a、b、c∈R+求证：a3＋b3＋c3≥3abc． 　　解：a3＋b3＝a·a2＋b·b2≥a(2ab－b2)＋b(2ab－a2)＝a2b＋ab2．① 　　同理b3＋c3≥b2c＋bc2，② 　　c3＋a3≥c2a＋ca2．③ 　　①＋②＋③，得 　　2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ac＋c·2ab＝6abc． 　　∴a3＋b3＋c3≥3abc．