Question

18．已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值．
（2）求过M点的圆的切线方程．

Answer 1

分析 （1）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值；
（2）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，可得当直线的斜率不存在时方程为x=3，符合题意．而直线的斜率存在时，利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算，得到切线方程为3x-4y-5=0，即可得到答案．

解答 解：（1）圆心坐标C（1，2），半径R=2，
若若直线ax-y+4=0与圆C相切，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=2，
解得a=0或a=$\frac{4}{3}$…（4分）
（2）圆心C（1，2），半径为r=2，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=3，
由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，
直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程y-1=k（x-3），
即kx-y+1-3k=0，
由题意知$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
即直线方程为y-1=$\frac{3}{4}$（x-3），
即3x-4y-5=0，
综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式以及相交弦长公式是解决本题的关键．