Question

12．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影为A₁B₁的中点O，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°
（1）求证：AB⊥CC₁；
（2）若CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求点C到平面ABO的距离．

Answer 1

分析 （1）证明A₁B₁⊥平面C₁OC，可得A₁B₁⊥CC₁，利用AB∥A₁B₁，即可证明AB⊥CC₁；
（2）利用等体积，求点C到平面ABO的距离．

解答 （1）证明：∵点C在平面A₁B₁C₁内的射影为A₁B₁的中点O，AC=BC
∴CO⊥A₁B₁，C₁O⊥A₁B₁，
∵CO∩C₁O=O，
∴A₁B₁⊥平面C₁OC，
∵CC₁?平面C₁OC，
∴A₁B₁⊥CC₁，
∵AB∥A₁B₁，
∴AB⊥CC₁；
（2）解：设AC=a，
∵AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$a²，
∴a=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$
设点C到平面ABO的距离为h，则
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴h=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，正确运用等体积法转化是关键．