Question

【题目】如图，已知是椭圆的左、右焦点，椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（不过点），且的周长的最大值为8.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过焦点，在椭圆上取两点，连接，与轴的交点分别为，过点作椭圆的切线，当四边形为菱形时，证明：直线.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据短轴长求得，由周长最小值可求得，进而得椭圆的标准方程.

（2）设，，，，求得过点的切线的方程，确定其斜率；而当四边形为菱形时，设直线和的方程，联立椭圆后由韦达定理表示出.由斜率公式表示出直线的斜率，即可证明直线.

（1）由题意可得，

的周长，

当且仅当经过点时，等号成立，

故，即，

所以椭圆的标准方程为.

（2）证明：不妨设，，，，

根据点斜式，可设过Q的切线方程为，

则，化简可得，

因为相切，所以，

化简可得，

解得，

由题意可知，的斜率均存在，

故当四边形为菱形时.

设直线，

联立化简得.

由韦达定理有，则，

同理可得，，

直线的斜率，

代入化简得，

所以，又因为两直线不可能重合，

所以直线.