Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a-b+c）=ac．
（1）求B；
（2）若a+c=8，b=7，求△ABC的面积；
（3）若sinAsinC=

3 -1

4

，求C．

Answer 1

分析：（1）根据已知等式进行化简，可得a²+c²-b²=-ac，再利用余弦定理算出cosB=-

1

2

，即可得出角B的大小；
（2）由题意得（a+c）²-b²=ac，结合a+c=8且b=7算出ac=15，利用三角形的面积公式即可算出△ABC的面积；
（3）根据三角形内角和定理，算出A+C=

π

3

，由此利用两角和与差的余弦公式算出cos（A-C）=cos（A+C）+2sinAsinC=

3

2

，从而得出A-C=

π

6

或-

π

6

，进而可得角C的大小．

解答：解：（1）∵（a+b+c）（a-b+c）=ac，
∴（a+c）²-b²=ac，
化简得a²+c²-b²=-ac．
根据余弦定理，可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

2π

3

．
（2）由（1）得（a+c）²-b²=ac，
又∵a+c=8，b=7，∴8²-7²=ac，
可得ac=15．
∴△ABC的面积S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×15×sin

2π

3

=

15 3

4

．
（3）由（1）得B=

2π

3

，可得A+C=π-B=

π

3

，
由此可得cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC
=cos（A+C）+2sinAsinC=

1

2

+2×

3 -1

4

=

3

2

，
又∵-

π

3

＜A-C＜

π

3

，
∴A-C=

π

6

或A-C=-

π

6

．
结合A+C=

π

3

，
解得C=

π

12

或C=

π

4

．

点评：本题给出三角形ABC满足的边的关系，求角B的大小并依此求三角形的面积．着重考查了正余弦定理、三角形的面积公式、三角形的内角和定理与两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．